Записей не предусмотренных законодательством в трудовой книжке быть не должно.

Не может.

Поскольку трудовая книжка является основным документом работника, содержащим сведения о его трудовой деятельности и трудовом стаже, ее правильное заполнение имеет важное значение, как для его дальнейшего трудоустройства, так и для подсчета стажа и оформления пенсии.

Предприятие, внесшее ошибочную запись должно указать, что «Запись за N __ недействительна и внесена ошибочно». 

В соответствии с пунктом 2.11. Инструкции о порядке  ведения трудовых книжек от 29.01.1998 г. N 402  изменение в трудовой книжке записей фамилии, имени, отчества и даты рождения производится работодателем по последнему месту работы на основании соответствующих документов (паспорта, свидетельства о рождении, браке, расторжении брака, изменении фамилии, имени, отчества и др.) со ссылкой на номер и дату выдачи этих документов.

Работодатель обязан вести трудовые книжки на всех работников, проработавших на предприятии свыше пяти дней, за исключением совместителей. В своем обращении Вы указали, что это работа не является для работника его основной работой. Тогда речь идет о совместителях или внештатных работников, надо определиться.

Трудовое законодательство не содержит нормы, обязывающей вносить в трудовую книжку запись об обучении в ВУЗе. Соответственно у работодателя и работника не возникнет ответственность за отсутствие данной записи в трудовой книжке.

 Нет, такие записи в трудовую книжку не вносятся.

Да, Ваша трудовая книжка старого образца подлежит уничтожению действующим работодателем,  согласно Инструкции о ведении трудовых книжек № 402 от 29.01.1998 г.

В графу "дата заполнения" вписывается  дата  внесения записей в новую трудовую книжку, вне зависимости от даты приема на работу или же даты накладной счет-фактуры.

В случае выявления неправильной или неточной записи сведений о работе работника после уточнения исправление вносит и заверяет тот же работодатель, который допустил ошибку.

Нет, вы не вправе этого делать.

Этого делать не следует.