Текст трудового договора в новой редакции можно утвердить дополнительным соглашением.

Трудовой договор, заключенный на неопределенный срок, не может быть перезаключен на определенный срок, а также на время выполнения определенной работы без согласия работника.

Сменой юридического адреса предприятия, тем более что меняется город его дислокации, является смена рабочего места, то есть изменение условий труда. Изменить их работодатель вправе без согласия работников в строгом соответствии с установленным порядком.

Заключать новый трудовой договор нет необходимости.

Продолжить трудовые отношения с таким работником возможно.

В связи с продлением подтверждения на работу можно изменить сроки трудового договора.

Возможно внести изменения в трудовой договора или расторгнуть текущий и заключить новый.

Изменение юридического адреса организации не считается изменением условий труда и не требует согласия работников. 

Нет, не может. 

Перевод работника на другую должность допустим. Он оформляется приказом работодателя на основании дополнительного соглашения к трудовому договору.

Не обязательно.

Для того, чтобы изменить режим работы сотрудника (не меняя его функции) не нужно изменять наименование его должности.

Если работник предприятия (организации) поступил в магистратуру  и работник успевает выполнять свои должностные обязанности, как и прежде, переводить его на работу по совместительству не нужно.

Все изменения условий трудового договора, в том числе и временные, должны быть в обязательном порядке оформлены приказом, с содержанием которого работодатель обязан ознакомить работника под расписку

По общему правилу условия трудового договора могут быть изменены только по соглашению сторон и в письменной форме. Соответственно запрещается требовать от работника выполнения работы, не обусловленной трудовым договором.